Пусть имеется техническая система с дискретными состояниями, в которой протекают марковские случайные процессы с непрерывным временем. Предположим, что все интенсивности потоков событий, переводящие систему из состояния в состояние постоянны , т.е. все потоки событий –– простейшие (стационарные пуассоновские).

Сформулируем следующую задачу: что будет происходить с системой при стремлении t ® ¥ ? Если функции P i (t) будут стремиться к каким-либо пределам, то будем их называть предельными вероятностями состояний .

Можно доказать следующее общее положение.

Если число состояний системы конечно и из каждого состояния за конечное число шагов можно перейти в любое другое (замкнутая система, рис.2.8а), то предельные вероятности состояний существуют и они не зависят ни от времени, ни от начального состояния системы.

При этом, естественно, сохраняется условие:

Рис. 2.7.8 а) –– граф замкнутой системы

Рис. 2.7.8 б) –– граф разомкнутой системы

Таким образом, при t ® ¥ в системе устанавливается некоторый предельный стационарный режим, который состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний реализуется с некоторой постоянной вероятностью P i .

При этом предельная вероятность P i представляет собой среднее относительное время пребывания системы в данном i-м состоянии, т.е. после перехода системы в установившийся режим работы она будет находиться в состоянии S i в течение времени, пропорциональном P i .

Например, если система имеет состояния S 0 , S 1 , S 2 и предельные вероятности равны 0.4, 0.1, 0.5, то после перехода в установившийся режим 40% времени система будет находиться в состоянии S 0 , 10% –– в состоянии S 1 и 50% –– в состоянии S 2 .

Для вычисления предельных вероятностей в системе дифференциальных уравнений Колмогорова необходимо левые части уравнений положить равными нулю (как производные от постоянных, поскольку теперь вероятности состояний не зависят от времени). Тогда исходная система дифференциальных уравнений трансформируется в систему линейных алгебраических уравнений, решение которых совместно с (2.85) дает возможность определить предельные вероятности P i .

Размеченный граф замкнутой системы имеет следующий вид.

Рис. 2.7.9. Размеченный граф замкнутой системы.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова:

Соответствующая линейная система алгебраических уравнений:

Решением этой системы будут значения предельных вероятностей.

Рассматривая марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, удобно будет представлять себе, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток отказов, поток восстановлений и т.д.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние – простейшие, то процесс протекающий в системе, будет марковским (простейший характер потоков – достаточное, но не необходимое условие для марковского процесса, т.к. простейший поток не обладает последействием: в нем "будущее" не зависит от "прошлого").

Если система S находится в каком-то состоянии S i , из которого есть непосредственный переход в другое состояние S j , то это представим так, что на систему, пока она находится в состоянии S i , действует простейший поток событий, переводящий ее по стрелке . Как только появится первое событие этого потока, происходит переход системы изS i в S j . Для наглядности на графе состояний у каждой стрелки проставим интенсивность того потока событий, который переводит систему по данной стрелке. Обозначим λ ij интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния S i в S j . Такой граф будем называть размеченным (рис. 4.8). (вернемся к примеру технического устройства из двух узлов).

Напомним состояния системы:

S 0 – оба узла исправны;

S 1 – первый узел в ремонте, второй исправен;

S 2 – второй узел в ремонте, первый исправен;

S 3 – оба узла в ремонте.

Интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, будем вычислять, предполагая, что среднее время ремонта узла не зависит от того, ремонтируется один узел или оба сразу. Это будет так, если ремонтом каждого узла занят отдельный специалист.

Найдем все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Пусть система находится в состоянии S 0 . Какой поток событий переводит ее в состояние S 1 ? Очевидно, поток отказов первого узла. Его интенсивность  1 равна единице, деленной на среднее время безотказной работы первого узла. Поток событий, переводящий систему обратно из S 1 в S 0 – поток окончаний ремонтов первого узла. Его интенсивность  1 равна единице, деленной на среднее время ремонтов первого узла. Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем стрелкам графа рис. 4.9.

Имея размеченный граф состояний системы, можно построить математическую модель данного процесса.

Пусть рассматривается система S, имеющая n возможных состояний S 1 , S 2 , …, S n . Назовем вероятностью i – го состояния вероятность P i (t) того, что в момент t система будет находится в состоянии S i . Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице.

(4.5)

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний P i (t) как функции времени. Для этого составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

Посмотрим на примере, как эти уравнения составляются. Пусть система S имеет 4 состояния: S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , размеченный граф которых показан на рис. 4.10. Рассмотрим одну из вероятностей состояний, например P 1 (t). Это – вероятность того, что в момент t система будет в состоянии S 1 . Придадим t малое приращение t и найдем P 1 (t+t) – вероятность того, что в момент t+t система будет находится в состоянии S 1 . Как это может произойти? Очевидно, двумя способами:

в момент t система уже была в состоянии S 1 , а за время t не вышла из него; либо

в момент t система была в состоянии S 2 , а время t перешла из него в S 1 .

Найдем вероятность первого варианта. Вероятность того, что в момент t система была в состоянии S 1 , равна P 1 (t). Эту вероятность нужно умножить на вероятность того, что находившись в момент t в состоянии S 1 , система за время t не перейдет из него ни в S 2 , ни в S 3 . Суммарный поток событий, выводящий систему из состояния S 1 тоже будет простейшим, с интенсивностью  12 + 13 (при наложении – суперпозиции – двух простейших потоков получается опять простейший поток, т.к. свойства стационарности, ординарности и отсутствия последействия сохраняются), значит, вероятность того, что за время t система выйдет из состояния S 1 , равна ( 12 + 13) t, вероятность того, что не выйдет: 1-( 12 + 13) t. Отсюда вероятность первого варианта равна P 1 (t).

Найдем вероятность второго варианта. Она равна вероятности того, что в момент t система будет в состоянии S 2 , а за время t перейдет из него в состояние S 1 , т.е. она равна P 2 (t) 21 t.

Складывая вероятности обоих вариантов (по правилу сложения вероятностей), получим: P 1 (t+t)=P 1 (t)+P 2 (t) 21 t.

Раскроем квадратные скобки, перенесем P 1 (t) в левую часть и разделим обе части на t:

Устремим t к нулю; слева получим в пределе производную функции P 1 (t). Т.о., запишем дифференциальное уравнение для P 1 (t):

, или, отбрасывая аргумент t у функций P 1 , P 2:

(4.6)

Рассуждая аналогично для всех остальных состояний, напишем еще три дифференциальных уравнения. В результате получим систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:

(4.7)

Это – система из 4-х линейных дифференциальных уравнений с четырьмя неизвестными функциями P 1 , P 2 , P 3 , P 4 . Одно из них (любое) можно отбросить, пользуясь тем, что
; выразить любую из вероятностейP i через другие, это выражение подставить в (4.7), а соответствующее уравнение с производной отбросить.

Сформулируем теперь общее правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности какого-то (i -го) состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i -го) состояния.

Пользуясь этим правилом, напишем уравнения Колмогорова для системы S (рис. 4.9):

(4.8)

Чтобы решить уравнения Колмогорова и найти вероятности состояний, необходимо задать начальные условия. Если мы точно знаем начальное состояние системы S i (при t=0) P i (0)=1, а все остальные начальные вероятности равны 0. Так уравнения (4.8) естественно решать при начальных условиях P 0 (0)=1, P 1 (0)=P 2 (0)=P 3 (0)=0 (в начальный момент оба узла исправны). Обычно, когда число уравнений больше двух (трех) их решают численно на ЭВМ.

Т.о., уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени.

Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух аппаратов по продаже билетов, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

Решение:

Система может находиться в четырех состояниях, так как у каждого аппарата по продаже билетов есть два состояния (быть занятым или свободным). Пусть S 0 - оба аппарата заняты; S 1 - 1-ый занят, 2-ой свободен; S 2 - 1-ый свободен, 2-ой занят; S 3 - оба аппарата свободны. Построим граф состояний, отметив на нем все возможные состояния кругами, а возможные переходы из состояния в состояние обозначим стрелками. Получаем, что переход из S 0 в S 3 возможен либо через S 1 , либо через S 2 , либо напрямик, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4 - Граф состояний аппаратов по продаже билетов

Найти предельные вероятности для системы S, граф которой изображен на рисунке.

Решение:

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют. Их можно найти из уравнений Колмогорова, составив систему по данному размеченному графу состояний, по следующему правилу:

Слева в уравнении стоит предельная вероятность данного состояния p i , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа - сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в данное состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти состояния выходят.

Кроме этого надо учитывать, что сумма всех вероятностей данной конечной системы равна единице. Составим уравнения для состояний S 1 и S 2 (уравнение для состояния S 0 - «лишнее»):

Ответ: Система примерно 66,67% времени пребывает в состоянии S 0 , 25% - в состоянии S 1 и 8,33% времени находится в состоянии S 2 .

Найти валовой выпуск для сбалансированной многоотраслевой экономики в модели Леонтьева, если дана матрица прямых затрат А и вектор конечного потребления У:

Решение:

Для сбалансированной многоотраслевой экономики выполняется следующее соотношение:

Выразим валовой выпуск через конечное потребление и матрицу затрат:

Находим матрицу, обратную к (Е - А):

Найдем валовой выпуск:

Ответ: Валовой выпуск равен (811,3; 660,4).

*При решении задач использовался

Пусть имеется система S c дискретными состояниями, в которой протекает марковский процесс с непрерывным временем.

Что будет с системой S при t ® ¥ ? Будут ли функции p 1 (t), p 2 (t), ..., p n (t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными (или "финальными") вероятностями состояний.

Можно доказать следующее общее положение :

Если число состояний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

Предположим, что поставленное условие выполнено, и предельные вероятности существуют:

Очевидно, предельные вероятности состояний, также, как и допредельные, в сумме должны давать единицу:

Таким образом, при t®¥ в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим : он состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени. Каков смысл вероятности? Она представляет собой среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии .

Как вычислить предельные вероятности? В системе уравнений Колмогорова надо положить все производные равными нулю.

Пример 1 . Вычислить предельные вероятности для системы:

Пример 2 . Написать уравнения для предельных вероятностей.

Пример 3. Найти предельные вероятности для системы.

9. Процесс "гибели и размножения".

Марковский поцесс называется "процессом гибели и размножения", если его граф состояний вытянут в цепочку, т.е. только l n,n+1 и. l n,n-1 не равны нулю, т.е. не равны нулю только плотности вероятностей перехода в соседнее состояние.

Пример 1 . Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавшее устройство немедленно начинает восстанавливаться. Состояние системы нумеруем по числу неисправных узлов.

В дальнейшем для процесса гибели и размножения будем обозначать l n,n+1 =l n , l n,n-1 =m n .

Определим общую схему решения для процессов гибели и размножения. Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний

Для первого состояния S 1 имеем:

l 1 p 1 =m 2 p 2

Для второго состояния имеем:

l 2 p 2 +m 2 p 2 =l 1 p 1 +m 3 p 3

Но в силу (9.1) можно сократить справа и слева равные друг другу члены l 1 p 1 и m 2 p 2 , получим

l 3 p 3 =m 4 p 4

и вообще для всех k

l k p k =m k+1 p k+1 для k=1,2,..., n-1

Решение этой системы есть:

p 1 +p 2 +....+p n = 1

Пример 2 . Найти предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения с графом

Пример 3 . Прибор состоит из трех узлов; поток отказов - простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно Т в. Отказавший узел сразу же начинает ремонтироваться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно t p ; закон распределения этого вемени показательный (поток восстановлений - простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при трех работающих узлах она равна 100%, при двух - 50%, а при одном и менее - прибор вообще не работает.

Рассматривая марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, нам удобно будет представлять себе, что все переходы системы состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток отказов, поток восстановлений и т. д.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, - простейшие, то процесс протекающий в системе, будет марковским. Это и естественно, так как простейший поток не обладает последействием: в нем «будущее» не зависит от «прошлого».

Если система S находится в каком-то состоянии из которого есть непосредственный переход в другое состояние (стрелка, ведущая из на графе состояний), то мы себе это будем представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии действует простейший поток событий, переводящий ее по стрелке . Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из

Для наглядности очень удобно на графе состояний у каждой стрелки проставлять интенсивность того потока событий, который переводит систему по данной стрелке. Обозначим интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния

На рис. 17.1 дан граф состояний с проставленными у стрелок интенсивностями (мы будем называть такой граф размеченны .

Построим размеченный граф состояний для примера, данного в § 15 (техническое устройство из двух узлов). Напомним состояния системы:

Оба узла исправны,

Первый узел ремонтируется, второй исправен,

Второй узел ремонтируется, первый исправен,

Оба узла ремонтируются.

Интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, будем вычислять, предполагая, что среднее время ремонта узла не зависит от того, ремонтируется ли один узел или оба сразу.

Это будет именно так, если ремонтом каждого узла занят отдельный специалист. Найдем все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Пусть система находится в состоянии . Какой поток событий переводит ее в состояние ? Очевидно, поток отказов первого узла. Его интенсивность равна единице, деленной на среднее время безотказной работы первого узла. Какой поток событий переводит систему обратно из ? Очевидно, поток «окончаний ремонтов» первого узла. Его интенсивность равна единице, деленной на среднее время ремонта первого узла. Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем стрелкам графа рис. 17.2.

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построить математическую модель данного процесса.

В самом деле, пусть рассматривается система S, имеющая возможных состояний . Назовем вероятностью состояния вероятность того, что в момент t система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице:

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний как функции времени. Для этого составляются и решаются так называемые уравнения Колмогорова - особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

Покажем на конкретном примере, как эти уравнения составляются. Пусть система S имеет четыре состояния: размеченный граф которых показан на рис. 17.3. Рассмотрим одну из вероятностен состояний, например Это - вероятность того, что в момент t система будет в состоянии S. Придадим t малое приращение и найдем - вероятность того, что в момент система будет в состоянии . Как это может произойти? Очевидно, двумя способами: либо 1) в момент t система уже была в состоянии а за время не вышла из него; либо 2) в момент t система была в состоянии а за время перешла из него в

Найдем вероятность первого варианта. Вероятность того, что в момент t система была в состоянии равна . Эту вероятность нужно умножить на вероятность того, что, находившись в момент t в состоянии система за время не перейдет из него ни в ни в . Суммарный поток событий, выводящий систему из состояния тоже будет простейшим, с интенсивностью (при наложении - суперпозиции - двух простейших потоков получается опять простейший поток, так как свойства стационарности, ординарности и отсутствия последействия сохраняются).

Значит, вероятность того, что за время система выйдет из состояния равна вероятность того, что не выйдет: Отсюда вероятность первого варианта равна .

Найдем вероятность второго варианта. Она равна вероятности того, что в момент t система будет в состоянии а за время перейдет из него в состояние т. е. она равна

Складывая вероятности обоих вариантов (по правилу сложения вероятностей), получим:

Раскроем квадратные скобки, перенесем в левую часть и разделим обе части на

Устремим, как и полагается в подобных случаях, к нулю; слева получим в пределе производную функции Таким образом, запишем дифференциальное уравнение для

или, короче, отбрасывая аргумент t у функций (теперь он нам больше уже не нужен):

Рассуждая аналогично для всех остальных состояний, напишем еще три дифференциальных уравнения. Присоединяя к ним уравнение (17.2), получим систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:

Это - система четырех линейных дифференциальных уравнений с четырьмя неизвестными функциями Заметим, что одно из них (любое) можно отбросить, пользуясь тем, что выразить любую из вероятностей через другие, это выражение подставить в (17.3), а соответствующее уравнение с производной отбросить.

Сформулируем теперь общее правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности какого-то состояния. В правой части - сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного состояния.

Пользуясь этим правилом, запишем уравнения Колмогорова для системы S, размеченный граф состояний которой дан на рис. 17.2:

Чтобы решить уравнения Колмогорова и найти вероятности состояний, прежде всего надо задать начальные условия. Если мы точно знаем начальное состояние системы , то в начальный момент (при ) , а все остальные начальные вероятности равны нулю. Так, например, уравнения (17.4) естественно решать при начальных условиях (в начальный момент оба узла исправны).

Как решать подобные уравнения? Вообще говоря, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами можно решать аналитически, но это удобно только когда число уравнений не превосходит двух (иногда - трех).

Если уравнений больше, обычно их решают численно - вручную или на ЭВМ.

Таким образом, уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени.

Поставим теперь вопрос: что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли стремиться к каким-то пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний. В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое, то финальные вероятности существуют

Предположим, что это условие выполнено и финальные вероятности существуют:

Финальные вероятности мы будем обозначать теми же буквами что и сами вероятности состояний, но разумея под ними уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, они тоже образуют в сумме единицу:

Как понимать эти финальные вероятности? При в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система случайным образом меняет свои состояния, но их вероятности уже не зависят от времени. Финальную вероятность состояния можно истолковать как среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если система S имеет три состояния и их финальные вероятности равны 0,2, 0,3 и 0,5, это значит, что в предельном, стационарном режиме система в среднем две десятых времени проводит в состоянии три десятых - в состоянии и половину времени - в состоянии

Как же вычислить финальные вероятности? Очень просто. Если вероятности постоянны, то их производные равны нулю. Значит, чтобы найти финальные вероятности, нужно все левые части в уравнениях Колмогорова положить равными нулю и решить полученную систему уже не дифференциальных, а линейных алгебраических уравнений. Можно и не писать уравнений Колмогорова, а прямо по графу состояний написать систему линейных алгебраических уравнений. Если перенести отрицательный член каждого уравнения из правой части в левую, то получим сразу систему уравнений, где слева стоит финальная вероятность данного состояния умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа - сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.