Твердого тела, то есть движение, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Пример такого движения - вращение колеса автомобиля при его движении по прямой. Можно взять любую точку 0 тела и мысленно провести через нее ось вращения перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела. Тогда ось вращения будет двигаться поступательно, оставаясь все время параллельной самой себе.
Видео 7.2. Плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Полет плоской картонной фигуры
Соответственно, скорость элементарной массы твердого тела складывается из скорости поступательного движения точки 0 и линейной скорости вращения вокруг связанной с ней (мысленно проведенной) оси:
где - радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке 0 .
Кинетическая энергия элементарной массы равна тогда:
Векторное произведение
имеет модуль, равный , где - расстояние массы от оси вращения. Следовательно, третье слагаемое в скобках равно . Второе слагаемое, представляющее собой смешанное произведение векторов, не меняется при циклической перестановке сомножителей:
В результате получим для кинетической энергии элемента твердого тела следующее выражение
Для нахождения кинетической энергии тела просуммируем по всем элементарным массам:
Сумма элементарных масс
есть масса твердого тела. Выражение
где - радиус-вектор центра масс тела относительно точки 0 .
Есть момент инерции тела относительно оси вращения. Поэтому для кинетической энергии твердого тела можно записать формулу:
Поскольку выбор мысленной оси вращения всецело в нашей власти, мы упростим полученное выражение, взяв в качестве точки 0 центр масс тела. Тогда = 0 и кинетическая энергия тела при плоском движении равна
Здесь - скорость движения центра масс, a - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и ортогональной плоскости, где лежат траектории точек тела. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.
Движение твердого тела определяется действующими на тело внешними силами и моментами этих сил
Индекс в обозначениях для момента внешней силы означает проекцию момента на ось вращения.
В следующих примерах мы имеем дело с плоским движением.
Видео 7.3. Зависимость поведения цилиндров на наклонной плоскости от характера распределение массы по их объему
Пример 1 . Круглое однородное тело (обруч, цилиндр, шар) радиусом и массой скатывается без скольжения по наклонной плоскости под углом к горизонту с высоты (рис. 7.12). Начальная скорость тела равна нулю. Найдем скорость центра масс каждого тела в конце спуска.
Рис. 7.12. Скатывание тела с наклонной плоскости
Рассмотрение данной задачи можно вести двумя способами.
1-й способ . По условию тело катится без проскальзывания. Это условие используется у нас дважды. Сила трения между телом и плоскостью действует в точке соприкосновения и в отсутствие скольжения не превышает своего максимального значения:
где - коэффициент трения скольжения.
Оси координат удобно направить следующим образом: ось х - вдоль движения, ось у - перпендикулярно наклонной плоскости. Тело движется под действием трех сил: силы тяжести , силы трения и силы нормального давления , так что уравнение поступательного движения центра инерции тела имеет вид:
Вдоль оси у тело не движется. Проецируя уравнение движения центра масс на ось у , получаем для силы нормального давления соотношение:
Проекция уравнения движения на ось х дает:
Так как линейная скорость точек соприкосновения цилиндра с наклонной плоскостью равна нулю (опять используем условие отсутствия проскальзывания), то скорость (ускорение) поступательного движения связаны с угловой скоростью (угловым ускорением) тела обычными соотношениями:
Кроме поступательного движения, тело еще и вращается. Вращение удобно описывать относительно оси z, проходящей через центр масс цилиндра.
Выбор этот обусловлен тем, что линии действия силы тяжести и силы нормального давления плоскости проходят через ось вращения и, следовательно, моменты этих сил равны нулю. Таким образом, цилиндр вращается только под действием силы трения, и уравнение вращательного движения имеет вид:
Таким образом, получается система 4-х уравнений, описывающих поступательное и вращательное движение с дополнительным неравенством, выражающим закон трения. Решая систему уравнений, находим:
Чем больше момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, тем меньше ускорение тела. Мы уже получили ответ на один из вопросов задачи: шар будет двигаться быстрее цилиндра, а цилиндр - быстрее обруча. Подставляя решение для силы трения в неравенство, выражающее закон трения, находим условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание:
Смысл этого условия прост: наклон не должен быть слишком крут.
Итак, центр масс тела движется вдоль плоскости с постоянным ускорением a , так что зависимость пройденного пути и скорости от времени имеет вид:
Отсюда следует связь скорости и пройденного пути:
К концу спуска тело проходит путь
так что его скорость достигает величины
Подставляя сюда моменты инерции обруча (), цилиндра () и шара (), находим соответственно:
2-й способ . Используем закон сохранения полной энергии. В конце спуска тело приобретает кинетическую энергию
Эта кинетическая энергия приобретена за счет потенциальной энергии . Отсюда следует найдено выше выражение для скорости тела в конце спуска. Такой способ намного короче, но он не позволяет узнать детали процесса: действующие на тело силы и т.п.
В рассмотренном выше примере мы считали примере мы имели дело со случаем, когда проскальзывание отсутствовало. Это позволило утверждать простую связь () между угловой и линейной скоростями тела и его радиусом. Сила трения покоя находилась при этом в результате решения уравнений движения. В случае, когда тело движется с проскальзыванием, заранее известной связи между линейной и угловой скоростями нет. Зато мы заранее знаем силу трения: раз точка соприкосновения тела с поверхностью скользит по поверхности, сила трения есть сила трения скольжения,модуль которой связан с силой нормального давления законом Амонтона - Кулона.
Силы трения, как уже говорилось, направлены так, чтобы препятствовать относительному проскальзыванию соприкасающихся тел. Часто путают это возможное проскальзывание с осуществляемым поступательным движением. Необходимо четко понимать, что не редки случаи, когда сила трения не тормозит, но ускоряет тело, то есть направлена по его движению. Самый известный пример - трогание автомобиля с места. Колеса начинают вращаться и проскальзывают по земле назад. Соответственно, сила трения направлена вперед, и именно она заставляет автомобиль трогаться. Чтобы ближе познакомиться с подобными случаями, рассмотрим пример.
Пример 2 . Цирковой артист бросает на арену обруч массой и радиусом , который начинает катиться в горизонтальном направлении со скоростью (рис. 7.13). При этом обручу придано обратное вращение с угловой скоростью . Найдем, при какой угловой скорости обруч после остановки покатится назад к артисту, а также конечную скорость поступательного движения обруча.
Рис. 7.13. Движение обруча с обратным вращением
При обратном вращении обруча точка его касания с ареной движется вперед как из-за вращения, так и из-за поступательного движения обруча. Поэтому неизбежно существует проскальзывание и, значит, сила трения достигает своего максимального значения. Она тормозит как поступательное движение, так и вращение обруча. Может случиться так, что поступательное движение обруча будет остановлено в тот момент, когда он еще сохраняет обратное вращение. Далее сила трения начнет ускорять обруч по направлению к артисту. Ускорение это прекратится, когда исчезнет тенденция к проскальзыванию, после чего обруч покатится назад равномерно с некоторой установившейся скоростью . Может, однако, случиться и так, что раньше будет остановлено обратное вращение, и тогда обруч сохранит поступательное движение вперед, изменив направление вращения на прямое. Чтобы различить эти два случая, качественных рассуждений недостаточно, и мы обратимся к формулам.
Направим ось ОХ направо (в направлении красной стрелки на рис. 7.13), ось вращения ОZ направим на нас (см. следующий пример, там эту ось удобнее направить от нас, то есть за чертеж), то есть в направлении «обратного» вращения, ось OY направим как обычно, вверх. Плоское движение обруча представим как суперпозицию его поступательного движения вместе с центром масс (геометрическим центром, поскольку обруч предполагается однородным). Спроектируем линейные и угловые скорости на соответствующие оси. Тогда, до тех пор, пока сила трения есть сила трения скольжения и направлена она налево, уравнения движения имеют вид
Уравнение (7.3.1) описывает движение центра масс обруча, а уравнение (7.3.2) его вращение вокруг оси проходящей через центр масс в той системе отсчета, в которой она покоится (системе центра масс). В (7.3.2) учтено, что момент инерции однородного обруча относительно его оси симметрии равен . После элементарного интегрирования получаем
Поступательное движение прекратится, то есть станет равным нулю, в момент времени
Вращение прекратится, то есть станет равным нулю,в момент времени
Их отношение
может быть любым ввиду независимости начальных скоростей поступательного и вращательного движений.
Для дальнейшего анализа введем в рассмотрение скорость нижней точки обруча - той его точки, которая касается поверхности арены. Отметим уже здесь, что условием исчезновения проскальзывания является обращение в ноль скорости именно этой точки, потому что скорость соответствующей точки на поверхности арены (той, которой касается обруч) очевидным образом в нашей системе отсчета, где арена неподвижна, равна нулю. Отсутствие проскальзывания это и есть неподвижность этих двух точек относительно друг друга. При выбранном направлении осей OZ и OX , имеем
Если , то первым прекратится поступательное движение обруча. В момент времени скорости (7.3.3) и (7.3.8) будут иметь значения
Нижняя точка обруча, за счет продолжающегося вращения, будет по-прежнему скользить относительно арены направо (направо на рисунке 7.13), сила трения скольжения сохранит свою величину и направление налево. Соответственно, центр обруча начнет ускорятся налево, то есть станет меньше нуля и начнет расти по модулю, вращение против часовой стрелки (на рисунке 7.13) будет продолжать замедлятся. Другими словами, при обруч в момент времени (7.3.5) начинает возвращаться к бросившему его артисту.
Как следует из (7.3.8), в момент времени
скорость нижней точки обруча из (7.3.8) обращается в ноль, проскальзывание прекращается, сила трения скольжения скачком сменяется равной нулю силой трения покоя (силой трения качения пренебрегаем) и обруч начинает катится к артисту с постоянной скоростью движения центра масс
вращаясь против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью
Если , то первым, в момент времени (7.3.6), прекратится вращение обруча. В момент времени скорость (7.3.8) нижней точки обруча будет равна скорости его центра и положительна:
Скольжение остается, сила трения скольжения сохраняет свою величину и направление налево, но обруч под действием этой силы трения скольжения начинает вращаться по часовой стрелке (напоминаем: налево, направо, по или против часовой стрелки - на рисунке 10). В результате этого скорость центра масс (центра обруча) будет уменьшаться, скорость вращения увеличиваться, в момент времени
проскальзывание обруча прекратится и обруч начнет равномерно удаляться от артиста со скоростью центра (7.3.10) и угловой скоростью вращения (7.3.11). Напомним, что в этом случае , так что а
Таким образом, ответ на вопрос: "Вернется обруч или укатится?" определяется начальными условиями, а конкретнее величиной параметра , который имеет простой физический смысл: это отношение модуля
скорости любой точки обруча за счет его поступательного движения вместе с центром масс к модулю скорости той же точки за счет вращения обруча вокруг оси, проходящей через его центр масс, в начальный момент времени.
В. М. Зражевский
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №
СКАТЫВАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
Цель работы: Проверка закона сохранения механической энергии при скатывании твердого тела с наклонной плоскости.
Оборудование: наклонная плоскость, электронный секундомер, цилиндры разной массы.
Теоретические сведения
Пусть цилиндр радиуса R и массой m скатывается с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 1). На цилиндр действуют три силы: сила тяжести P = mg , сила нормального давления плоскости на цилиндр N и сила трения цилиндра о плоскость F тр. , лежащая в этой плоскости.
Цилиндр участвует одновременно в двух видах движения: поступательном движении центра масс O и вращательном движении относительно оси, проходящей через центр масс.
Так как цилиндр во время движения остается на плоскости, то ускорение центра масс в направлении нормали к наклонной плоскости равно нулю, следовательно
P ∙cosα − N = 0. (1)
Уравнение динамики поступательного движения вдоль наклонной плоскости определяется силой трения F тр. и составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости mg ∙sinα:
ma = mg ∙sinα − F тр. , (2)
где a – ускорение центра тяжести цилиндра вдоль наклонной плоскости.
Уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс имеет вид
I ε = F тр. R , (3)
где I
– момент инерции, ε – угловое ускорение.
Момент силы тяжести и
относительно этой оси равен нулю.
Уравнения (2) и (3) справедливы всегда, вне зависимости от того, движется цилиндр по плоскости со скольжением или без скольжения. Но из этих уравнений нельзя определить три неизвестные величины: F тр. , a и ε, необходимо еще одно дополнительное условие.
Если сила трения имеет достаточную величину, то качение цилиндра по наклонной происходит без скольжения. Тогда точки на окружности цилиндра должны проходить ту же длину пути, что и центр масс цилиндра. В этом случае линейное ускорение a и угловое ускорение ε связаны соотношением
a = R ε. (4)
Из уравнения (4) ε = a /R . После подстановки в (3) получаем
.
(5)
Заменив в (2) F тр. на (5), получаем
.
(6)
Из последнего соотношения определяем линейное ускорение
.
(7)
Из уравнений (5) и (7) можно вычислить силу трения:
.
(8)
Сила трения зависит от угла наклона α, силы тяжести P = mg и от отношения I /mR 2 . Без силы трения качения не будет.
При качении без скольжения играет роль сила трения покоя. Сила трения при качении, как и сила трения покоя, имеет максимальное значение, равное μN . Тогда условия для качения без скольжения будут выполняться в том случае, если
F тр. ≤ μN . (9)
Учитывая (1) и (8), получим
,
(10)
или, окончательно
.
(11)
В общем случае момент инерции однородных симметричных тел вращения относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать как
I = kmR 2 , (12)
где k = 0,5 для сплошного цилиндра (диска); k = 1 для полого тонкостенного цилиндра (обруча); k = 0,4 для сплошного шара.
После подстановки (12) в (11) получаем окончательный критерий скатывания твердого тела с наклонной плоскости без проскальзывания:
.
(13)
Поскольку при качении твердого тела по твердой поверхности сила трения качения мала, то полная механическая энергия скатывающегося тела постоянна. В начальный момент времени, когда тело находится в верхней точке наклонной плоскости на высоте h , его полная механическая энергия равна потенциальной:
W п = mgh = mgs ∙sinα, (14)
где s – путь, пройденный центром масс.
Кинетическая энергия катящегося тела складывается из кинетической энергии поступательного движения центра масс со скоростью υ и вращательного движения со скоростью ω относительно оси, проходящей через центр масс:
.
(15)
При качении без скольжения линейная и угловая скорости связаны соотношением
υ = R ω. (16)
Преобразуем выражение для кинетической энергии (15), подставив в него (16) и (12):
Движение по наклонной плоскости является равноускоренным:
.
(18)
Преобразуем (18) с учетом (4):
.
(19)
Решая совместно (17) и (19), получим окончательное выражение для кинетической энергии тела, катящегося по наклонной плоскости:
.
(20)
Описание установки и метода измерений
Исследовать качение тела по наклонной плоскости можно с помощью узла «плоскость» и электронного секундомера СЭ1, входящих в состав модульного учебного комплекса МУК-М2.
У
становка
представляет собой наклонную плоскость
1, которую с помощью винта 2 можно
устанавливать под разными углами α к
горизонту (рис. 2). Угол α измеряется с
помощью шкалы 3. На плоскость может быть
помещен цилиндр 4 массой m
.
Предусмотрено использование двух
роликов разной массы. Ролики закрепляются
в верхней точке наклонной плоскости с
помощью электромагнита 5, управление
которым осуществляется с помощью
электронного секундомера СЭ1. Пройденное цилиндром расстояние измеряется линейкой 6, закрепленной вдоль плоскости. Время скатывания цилиндра измеряется автоматически с помощью датчика 7, выключающего секундомер в момент касания роликом финишной точки.
Порядок выполнения работы
1. Ослабив винт 2 (рис. 2), установите плоскость под некоторым углом α к горизонту. Поместите ролик 4 на наклонную плоскость.
2. Переключите тумблер управления электромагнитами механического блока в положение «плоскость».
3. Переведите секундомер СЭ1 в положение режим 1.
4. Нажмите кнопку «Пуск» секундомера. Измерьте время скатывания.
5. Повторите опыт пять раз. Результаты измерений запишите в табл. 1.
6. Вычислите значение механической энергии до, и после скатывания. Сделайте вывод.
7. Повторите п. 1-6 для других углов наклона плоскости.
Таблица 1
|
t i , c |
(t i − <t >) 2 |
пути s , м |
Угол наклона |
ролика, кг |
W п, Дж |
W к, Дж |
|
|
t (a,n ) |
<t > |
å(t i – <t >) 2 |
Δs , м |
Δm , кг |
|||
8. Повторите опыт п. 1-7 для второго ролика. Результаты запишите в табл. 2, аналогичную табл. 1.
9. Сделайте выводы по всем результатам работы.
Контрольные вопросы
1. Назовите виды сил в механике.
2. Объяснить физическую природу сил трения.
3. Что называется коэффициентом трения? Его размерность?
4. Какие факторы влияют на величину коэффициента трения покоя, скольжения, качения?
5. Описать общий характер движения твердого тела при качении.
6. Как направлен момент силы трения при качении по наклонной плоскости?
7. Записать систему уравнений динамики при качении цилиндра (шара) по наклонной плоскости.
8. Вывести формулу (13).
9. Вывести формулу (20).
10. Шар и цилиндр с одинаковыми массами m и равными радиусами R одновременно начинают скатываться по наклонной плоскости с высоты h . Одновременно ли они достигнут нижней точки (h = 0)?
11. Объяснить причину торможения катящегося тела.
Библиографический список
1. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – § 41–43.
2. Хайкин, С. Э. Физические основы механики / С. Э. Хайкин. – М: Наука, 1971. – § 97.
3. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 16–19.
Динамика и кинематика - это два важных раздела физики, которые изучают законы перемещения объектов в пространстве. Первый рассматривает действующие на тело силы, второй же занимается непосредственно характеристиками динамического процесса, не вникая в причины того, что его вызвало. Знание этих разделов физики необходимо применять для успешного решения задач на движение по наклонной плоскости. Рассмотрим этот вопрос в статье.
Основная формула динамики
Конечно же, речь идет о втором законе, который постулировал Исаак Ньютон в XVII веке, изучая механическое движение твердых тел. Запишем его в математической форме:
Действие внешней силы F¯ вызывает появление линейного ускорения a¯ у тела с массой m. Обе векторные величины (F¯ и a¯) направлены в одну и ту же сторону. Сила в формуле является результатом действия на тело всех сил, которые присутствуют в системе.
В случае движения вращения второй закон Ньютона записывается в виде:
Здесь M и I - и инерции, соответственно, α - угловое ускорение.
Формулы кинематики
Решение задач на движение по наклонной плоскости требует знания не только главной формулы динамики, но и соответствующих выражений кинематики. Они связывают в равенства ускорение, скорость и пройденный путь. Для равноускоренного (равнозамедленного) прямолинейного движения применяются следующие формулы:
S = v 0 *t ± a*t 2 /2
Здесь v 0 - значение начальной скорости тела, S - пройденный за время t путь вдоль прямолинейной траектории. Знак "+" следует поставить, если скорость тела увеличивается с течением времени. В противном случае (равнозамедленное движение) следует использовать в формулах знак "-". Это важный момент.
Если движение осуществляется по круговой траектории (вращение вокруг оси), тогда следует использовать такие формулы:
ω = ω 0 ± α*t;
θ = ω 0 *t ± α*t 2 /2
Здесь α и ω - и скорость, соответственно, θ - угол поворота вращающегося тела за время t.
Линейные и угловые характеристики друг с другом связаны формулами:
Здесь r - радиус вращения.
Движение по наклонной плоскости: силы
Под этим движением понимают перемещение некоторого объекта вдоль плоской поверхности, которая наклонена под определенным углом к горизонту. Примерами может служить соскальзывание бруска по доске или качение цилиндра по металлическому наклоненному листу.
Для определения характеристик рассматриваемого типа движения необходимо в первую очередь найти все силы, которые действуют на тело (брусок, цилиндр). Они могут быть разными. В общем случае это могут быть следующие силы:
- тяжести;
- реакции опоры;
- и/или скольжения;
- натяжение нити;
- сила внешней тяги.
Первые три из них присутствуют всегда. Существование последних двух зависит от конкретной системы физических тел.
Чтобы решать задачи на перемещение по плоскости наклонной необходимо знать не только модули сил, но и их направления действия. В случае, если тело по плоскости скатывается, сила трения неизвестна. Однако она определяется из соответствующей системы уравнений движения.
Методика решения
Решения задач данного типа начинается с определения сил и их направлений действия. Для этого в первую очередь рассматривают силу тяжести. Ее следует разложить на два составляющих вектора. Один из них должен быть направлен вдоль поверхности наклонной плоскости, а второй должен быть ей перпендикулярен. Первая составляющая силы тяжести, в случае движения тела вниз, обеспечивает его линейное ускорение. Это происходит в любом случае. Вторая равна Все эти показатели могут иметь различные параметры.
Сила трения при движении по наклонной плоскости всегда направлена против перемещения тела. Если речь идет о скольжении, то вычисления довольно просты. Для этого следует использовать формулу:
Где N - реакция опоры, µ - коэффициент трения, не имеющий размерности.
Если в системе присутствуют только указанные три силы, тогда их результирующая вдоль наклонной плоскости будет равна:
F = m*g*sin(φ) - µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a
Здесь φ - это угол наклона плоскости к горизонту.
Зная силу F, можно по закону Ньютона определить линейное ускорение a. Последнее, в свою очередь, используется для определения скорости движения по наклонной плоскости через известный промежуток времени и пройденного телом расстояния. Если вникнуть, то можно понять, что все не так уж и сложно.
В случае, когда тело скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания, суммарная сила F будет равна:
F = m*g*sin(φ) - F r = m*a
Где F r - Она неизвестна. Когда тело катится, то сила тяжести не создает момента, поскольку приложена к оси вращения. В свою очередь, F r создает следующий момент:
Учитывая, что мы имеем два уравнения и две неизвестных (α и a связаны друг с другом), можно легко решить эту систему, а значит, и задачу.
Теперь рассмотрим, как использовать описанную методику при решении конкретных задач.
Задача на движение бруска по наклонной плоскости
Деревянный брусок находится в верхней части наклонной плоскости. Известно, что она имеет длину 1 метр и располагается под углом 45 o . Необходимо вычислить, за какое время брусок опустится по этой плоскости в результате скольжения. Коэффициент трения принять равным 0,4.
Записываем закон Ньютона для данной физической системы и вычисляем значение линейного ускорения:
m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a =>
a = g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) ≈ 4,162 м/с 2
Поскольку нам известно расстояние, которое должен пройти брусок, то можно записать следующую формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:
Откуда следует выразить время, и подставить известные значения:
t = √(2*S/a) = √(2*1/4,162) ≈ 0,7 с
Таким образом, время движения по наклонной плоскости бруска составит меньше секунды. Заметим, что полученный результат от массы тела не зависит.
Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром
Цилиндр радиусом 20 см и массой 1 кг помещен на наклонную под углом 30 o плоскость. Следует вычислить его максимальную линейную скорость, которую он наберет при скатывании с плоскости, если ее длина составляет 1,5 метра.
Запишем соответствующие уравнения:
m*g*sin(φ) - F r = m*a;
F r *r = I*α = I*a/r
Момент инерции I цилиндра вычисляется по формуле:
Подставим это значение во вторую формулу, выразим из нее силу трения F r и заменим полученным выражением ее в первом уравнении, имеем:
F r *r = 1/2*m*r 2 *a/r = >
m*g*sin(φ) - 1/2*m*a = m*a =>
a = 2/3*g*sin(φ)
Мы получили, что линейное ускорение не зависит от радиуса и массы скатывающегося с плоскости тела.
Зная, что длина плоскости составляет 1,5 метра, найдем время движения тела:
Тогда максимальная скорость движения по наклонной плоскости цилиндра будет равна:
v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(φ))
Подставляем все известные из условия задачи величины в конечную формулу, получаем ответ: v ≈ 3,132 м/c.
Скорость скольжения точки соприкосновения тела с поверхностью равна, очевидно, разности линейной скорости точек поверхности круглого тела и скорости поступательного движения тела:
К моменту времени
скорость скольжения становится равной нулю и наступает режим чистого качения.
В режиме чистого качения выполняется равенство
Длина участка стабилизации качения равна
Количество выделяющейся теплоты можно определить, используя закон сохранения энергии или вычислив работу момента силы трения:
Отметим, что скорость установившегося поступательного движения u с и выделившееся количество теплоты Q не зависят от величины коэффициента трения скольжения m .
Задача 44. По наклонной плоскости катится круглое тело без скольжения. Плоскость наклонена к горизонту под углом a . Пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, определите ускорение скатывающегося тела. При каких значениях коэффициента трения m возможно качение без скольжения?
Решение. Рассмотрим энергетическое решение. Так как тело катится без скольжения, а сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь, то при движении тела сохраняется его механическая энергия. Вначале тело покоится, и его механическая энергия равна потенциальной энергии mgh , а после скатывания механическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения:
где J c =CmR 2 – момент инерции круглого тела относительно оси, проходящей через центр инерции, m – масса тела (С – формпараметр), u с –скорость центра инерции тела, w – угловая скорость вращения тела (R –радиус круглого тела).
Так как тело катится без скольжения, скорость центра инерции u с и угловая скорость вращения тела w связаны соотношением u с =wR (см. задачу 43).
Из уравнения (1) для скорости центра инерции тела u с после скатывания находим
где h – высота, с которой скатывается тело.
Центр инерции тела движется с ускорением
так как S=h/sina , u с (0)=0 .
Вопрос о значении величины коэффициента трения m энергетически не решается.
Рассмотрим динамическое решение задачи. На тело действует сила тяжести , сила реакции и сила трения покоя (см. рисунок). Под действием этих сил тело вращается и двигается поступательно согласно уравнениям динамики:
Исключая из системы уравнений (4) и (5) силу трения с учетом, что u с =wR и J c =CmR 2 , получаем формулу для расчета ускорения центра инерции тела (3) .
Рассмотрим вопрос об оценке значения коэффициента трения m .
Выразим из системы уравнений (4) и (5) силу трения
Сила трения покоя ограничена максимальным значением
F тр max =mN=mmgsina.
Из условия F тр £F тр max получаем соотношение, ограничивающее значение коэффициента трения
Качение без скольжения для заданного значения коэффициента трения m возможно для углов наклона a , удовлетворяющих условию
Задача 45. Круглое тело радиусом r катится без скольжения по наклонной плоскости, которая плавно переходит в цилиндрическую поверхность радиусом R . С какой минимальной высоты необходимо скатить тело, чтобы оно могло преодолеть препятствие в форме “мертвой петли“ ? Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь.
Решение. Скорость центра инерции круглого тела в точке А
(см. задачу 44).
Движение по внутренней поверхности цилиндра описывается системой уравнений динамики:
где J c =Cmr 2 – момент инерции круглого тела относительно собственной оси вращения (m – масса тела, С – формпараметр).
К уравнениям (1)-(3) следует добавить соотношение, связывающее скорость поступательного движения тела и угловую скорость вращения при отсутствии скольжения:
Из уравнений (1) и (3) с учетом (4) находим уравнение для скорости поступательного движения тела
Проинтегрируем последнее уравнение (см. задачу 32), учитывая, что u=u A при j=0.
Проанализируем физическую ситуацию в критической точке В. Тело должно дойти до точки В и не оторваться от нее.
Из основного уравнения динамики (2) для точки В
видно, что сила реакции N B определяется скоростью поступательного движения в этой точке. Тело не отрывается в точке В , если N B >0 . Минимальную скорость тела в точке В , при которой оно не отрывается от данной точке, оценим, положив N B =0:
Из формулы (5) для минимальной высоты спуска получаем
Этот же результат можно получить из энергетических соображений (убедитесь в этом).
Задача 46. Профиль края горизонтального стола скруглен в полуокружность радиусом R . Круглое тело радиусом r катится по столу без скольжения со скоростью u 0 . Пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, определите место отрыва тела от поверхности стола и скорость тела в момент отрыва.
Решение. При движении тела по горизонтальной поверхности стола скорость поступательного движения и угловая скорость вращения w=u 0 /r не изменяются.
Движение тела по скруглению описывается уравнениями динамики:
где J c =Cmr 2 , u c =wr (см. задачи 44, 45).
Решая систему уравнений (1) – (3) с учетом начального условия u=u 0 при j=0, находим
Скорость поступательного движения тела u c увеличивается с ростом полярного угла j , а сила реакции N уменьшается. В точке отрыва N=0 . Отсюда получаем соотношение для определения полярного угла, соответствующего точке отрыва:
Скорость поступательного движения тела в момент отрыва равна
Полученные выражения для j oтр и u oтр содержат множество частных случаев (убедитесь в этом).
Интерес представляет проверка предположения о качении без скольжения. Такое качение возможно, если сила трения покоя не превосходит в любой точке максимальной силы трения покоя:
Проведите самостоятельно этот анализ.
Задача 47. Человек, масса которого m 1 =65кг , переходит с края вращающейся платформы в ее середину. Считая платформу однородным кругом, а человека материальной точкой, оцените изменения кинетической энергии системы. Масса и радиус платформы соответственно равны m 2 =210 кг , R=2,1м . Начальная угловая скорость вращения системы равна w 0 =2,3рад/с
Решение. Вопрос: “Будет ли изменяться кинетическая энергия системы?”
Для указанных в условии задачи приближениях систему платформа – человек можно считать изолированной. Поэтому при переходе человека в центр платформы будет сохраняться момент импульса системы относительно оси вращения платформы:
где J 0 =J(1+2m 1 /m 2 ), J=0,5m 2 R 2 – момент инерции платформы относительно собственной оси вращения, w -угловая скорость вращения системы после перехода человека в центр платформы.
Кинетическая же энергия системы при этом не сохраняется. Чтобы сохранялась механическая энергия, одного требования изолированности системы недостаточно. Система взаимодействующих тел должна быть еще и консервативной.
Консервативна ли наша система? Человек имеет возможность передвигаться относительно платформы только благодаря наличию силы трения. Сила трения покоя позволяет мышечной энергии человека превращаться в кинетическую энергию вращения. Наша система неконсервативная. Кинетическая энергия системы возрастает за счет биоэнергии человека. При переходе в центр платформы человек за счет силы энергии покоя “раскручивает” платформу.
Приращение кинетической энергии можно найти, вычислив работу, связанную с переходом человека в центр платформы, или как разницу кинетических энергий системы:
Здесь учтено, что L=L 0 =J 0 w 0 .
Отметим, что человек может передвигаться по платформе, если коэффициент трения удовлетворяет условию m³w 0 2 R/g .
Задача 48. На краю вращающейся платформы находится шайба массой m 1 =0,21кг . К шайбе одним концом привязана нерастяжимая нить, другой конец которой пропущен через небольшое отверстие в центре платформы. С помощью нити шайбу перемещают в центр платформы. Коэффициент трения между шайбой и платформой равен m=0,4 . Оцените работу, затраченную на перемещение шайбы, пренебрегая ее размерами, трением в оси платформы и сопротивлением воздуха. Радиус и масса платформы соответственно равны R=0,57м , m 2 =5,6кг .
Решение. Хотя рассматриваемая система не является изолированной, тем не менее к ней можно применить закон сохранения момента импульса, так как момент силы натяжения нити относительно оси вращения равен нулю. Поэтому можно записать
где J 0 =J(1+2 m 1 /m 2), J=0,5m 2 R 2 .
Кинетическая энергия системы при этом возрастает на величину (см. задачу 47)
Работа по перемещению шайбы равна сумме приращения кинетической энергии системы и работы силы трения:
A=DK+mmgR=23,5Дж.
Эту же работу можно вычислить непосредственно по формуле работы:
где F=mm 1 g+ m 1 w 2 x – сила, приложенная к нити ( – угловая скорость вращения системы).
Задача 49. Человек идет по краю круглой платформы и возвращается в исходную точку. Считая человека точкой, а платформу однородным диском, оцените, на какой угол повернется платформа. Масса человека и платформы соответственно равны m 1 =75кг , m 2 =150кг . Трением в оси платформы и сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. При передвижении человека по краю платформы сама платформа с человеком будет вращаться относительно Земли в противоположную сторону движения человека относительно платформы. Для простоты предположим, что человек движется по краю платформы равномерно с угловой скоростью w / относительно платформы. При этом платформа будет вращаться относительно Земли с угловой скоростью w пл, а человек – с угловой скоростью, равной сумме
Для определения угла поворота платформы воспользуемся законом сохранения момента импульса:
Jw+J пл w пл =0,
где J=m 1 R 2 , J пл =0,5m 2 R 2 – моменты инерции человека и платформы.
Откуда для угловой скорости вращения платформы получаем
Умножив последнее соотношение на время движения, для угла поворота платформы находим
Знак “ – “ указывает на то, что платформа поворачивается в обратную сторону движения человека по краю платформы.
Угол поворота не зависит от характера движения человека по краю платформы.
Задача 50. Однородный стержень массой m=250г и длиной l=1,2м подвешен за один из концов. Небольшое тело массой m 0 =120г движется горизонтально со скоростью u 0 =4,2м/с , сталкивается так, что стержень после столкновения отклоняется на максимально возможный угол. Определите место столкновения тела со стержнем (расстояние от точки подвеса до точки столкновения) и угол отклонения стержня, считая столкновение абсолютно упругим, пренебрегая сопротивлением воздуха и трением в оси.
Решение. Воспользуемся законом сохранения момента импульса и механической энергии
где J=(1/3)ml 2 – момент инерции стержня относительно точки подвеса, P 0 =m 0 u 0 , P=m 0 u – импульсы тела до и после столкновения, L – момент импульса стержня после столкновения.
Из уравнений (1) и (2) для неизвестных P и L находим
Как видно, значения P и L зависят от координаты места столкновения. Функция L(x) имеет максимум. Из условия экстремума получаем
Максимальный момент импульса, который получает стержень при столкновении, равен
При этом импульс тела после столкновения равен нулю (убедитесь в этом).
Отклонение стержня в однородном поле тяжести Земли после столкновения можно оценить, решая динамическую задачу или используя закон сохранения механической энергии.
Для расчета угла отклонения стержня получается следующее соотношение:
После вычислений получаем x m =1,0 м , j=73 0 .
Задачи для самостоятельного решения
(Поступательное и вращательное движения твердого тела)
1 . Маховик, масса которого m=5,2кг распределена по ободу, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720об/мин . При торможении маховик останавливается через 20с . Определите тормозящий момент, если радиус маховика равен 36см (2,5Нм) .
2 . На однородный цилиндр массой 5,1кг намотана нерастяжимая нить, к концу которой прикреплен груз массы 0,25кг . В момент времени t=0 система пришла в движение. Определите кинетическую энергию всей системы к моменту времени 3,3с (2Дж).
3 . На неподвижный блок намотана нерастяжимая нить, к концу которой прикреплен груз массой 1,7кг . Определите, с каким ускорением будет падать груз, если масса блока равна 2,2кг . Блок считать однородным диском. Сопротивлением воздуха и трением в оси блока пренебречь (6,1м/с 2) .
4 . На неподвижный блок намотана нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы массами 1,6кг и 1,2кг . Определите кинетическую энергию системы через 1,8с после начала движения. Масса блока 3,2кг . Блок считать однородным диском. Нить не проскальзывает по блоку. Сопротивлением воздуха и трением в оси пренебречь (15Дж) .
5 . На неподвижный блок, масса которого равна 25кг, намотана веревка. На веревке висит обезьяна, которая пытается взобраться по ней вверх. С каким ускорением движется веревка, если обезьяна все время остается на одной и той же высоте от пола? Масса обезьяны 5,0кг . Трением в оси блока и массой веревки можно пренебречь (4,0м/с 2) .
6 . Система тел (см. рисунок) движется с ускорением 1,4м/с 2 ,массы грузов m 2 =2,3кг , m б =1,6кг , коэффициент трения m=0,2 . Нить нерастяжима и не проскальзывает по блоку. Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением в оси блока, определите массу m 1 . Блок считать однородным диском (1,0кг) .
7 . Связанная система состоит из трех тел (см. рисунок): неподвижного блока массой m 2 =1,8кг , подвижного блока массой m 3 =2,0кг и груза массой m 1 =1,5кг . Определите, с каким ускорением падает груз, если нить нерастяжима и не проскальзывает по блокам (1,6м/с 2) .
8 . Хоккейную шайбу раскрутили до угловой скорости 31рад/с и положили плашмя на лед. Определите время торможения шайбы, если масса и радиус шайбы соответственно равны 0,21кг и 3,2см. Коэффициент трения между шайбой и льдом равен 0,13 (0,57с).
9 . Шар, вращающийся вокруг собственной оси с частотой 10об/с, поставили на горизонтальную поверхность. Определите угловую скорость качения шара и долю ее начальной кинетической энергии, которая превращается в теплоту (18 рад/с, 71%).
10 . Полый тонкостенный цилиндр, вращающийся с угловой скоростью 15рад/с , поставили на горизонтальную поверхность. За какое время цилиндр пройдет расстояние 5,7м , если его радиус равен 12см , а коэффициент трения между цилиндром и горизонтальной поверхностью равен 0,25 (6,6с).
11 . Горизонтальная поверхность плавно переходит в плоскую горку с углом наклона a=25 0 к горизонту. Однородный цилиндр, вращающийся с угловой скоростью 45рад/с , поставили на горизонтальную поверхность вдали от подножия горки. Определите, на какую высоту вкатится цилиндр, если коэффициент трения между цилиндром и поверхностью всюду равен 0,2 . Радиус цилиндра равен 13см (29см).
12 . Однородный шар спускается по наклонной плоскости с высоты 1,5м . Угол наклона плоскости к горизонту равен 33 0 . Коэффициент трения между шаром и плоскостью всюду, включая горизонтальную поверхность, равен 0,15 . Определите установившуюся скорость качения шара по горизонтальной поверхности, если трением качения и сопротивлением воздуха можно пренебречь(4,5м/с).
13 . Однородный цилиндр движется по наклонной плоскости с некоторой высоты без начальной скорости. Плоскость наклонена к горизонту под углом 26 0 . Коэффициент трения между телом и плоскостью равен 0,1 . Определите отношение кинетической энергии в конце спуска к начальному значению потенциальной энергии тела. Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь (0,9) .
14 . С какой минимальной высоты необходимо скатить шарик радиусом r=1,1см , чтобы он смог преодолеть барьер в форме “мертвой петли” радиусом R=13см ? Шарик катится без скольжения. Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь(33см).
15. Полый тонкостенный цилиндр катится по горизонтальной поверхности, которая плавно переходит в цилиндрическую, без скольжения. При какой минимальной скорости поступательного движения цилиндр прокатится по цилиндрической поверхности, не выпадая, если радиус цилиндрической поверхности равен 41см , а радиус полого цилиндра 2,0см . Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь (3,4м/с) .
16 . Наклонная плоскость плавно переходит в цилиндрическую поверхность радиусом R=1,2м . Шарик скатывается без скольжения по наклонной плоскости с высоты 2,5м без начальной скорости. Определите высоту точки отрыва шарика от поверхности цилиндра. Радиус шарика равен 0,15м . Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь (1,9м).
17 . Диск катится без скольжения по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 27 0 , плавно переходящей в цилиндрическую поверхность радиусом кривизны 25см . Определите минимальную высоту, с которой необходимо скатить диск, чтобы он оторвался от поверхности на линии перехода наклонной плоскости в цилиндрическую поверхность. Радиус диска равен 5см (0,2м).
18 . Шар скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом 0,50м с начальной скоростью 1,0м/с . Определите полярный угол, соответствующий месту отрыва шарика от сферической поверхности, если сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь. Радиус шара 10см (49 0).
19 . Шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, которая плавно переходит в цилиндрическую поверхность радиусом R=1,5м . Радиус шара r=11см . Шар скатывается с высоты h=2,9м без начальной скорости. Определите координату точки отрыва шара от поверхности цилиндра (полярный угол)(130 0).
20 . На однородный стержень, подвешенный за один из концов, попадает горизонтально летящее тело и прилипает к нему. Определите, на какой угол отклоняется стержень от вертикального положения. Длина и масса стержня соответственно равны 0,51см , 980 г. Масса тела 12г . Расстояние от точки подвеса до линии движения тела равно 34см . Скорость тела до столкновения 30м/с (15 0).
21 . Шар массой 2,1кг подвешен на легком стержне. В шар попадает горизонтально летящая пуля массой 9,0г и застревает в середине шара. Определите скорость пули, если система отклонилась от положения равновесия на угол 40 0 .Длина стержня и радиус шара соответственно равны 6,5см , 35см . Сопротивлением воздуха и трением в оси подвеса пренебречь (520 м/с).
22 . Период вращения Солнца вокруг собственной оси равен 27 земным суткам. Солнце представляет собой водородную звезду. После того как полностью выгорит водород, Солнце испытает гравитационный коллапс. Оцените радиус Солнца, прежде чем оно разлетится на части. Масса Солнца 2,0×10 30 кг , радиус Солнца 7,0×10 8 (14км).
Примеры решения задач
(Колебательное движение)
Задача 51. Максимальная частота колебаний физического маятника массой m=2,3кг равна n max =1,3Гц . Определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через ее центр инерции.
Решение. Маятник совершает вращательное колебательное движение относительно оси качания под действием момента силы тяжести
где x=ОС, J 0 =J c +mx 2 , J c – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр инерции С , m – масса маятника.
В таком приближение мы пренебрегаем сопротивлением воздуха и трением в оси качания маятника.
При малых углах отклонения маятник совершает гармоническое колебательное движение с угловой частотой
Зависимость угловой частоты от положения оси качания w(x) имеет максимум при
Максимальная угловая частота равна
Откуда находим
Физический маятник применяется для измерения ускорения свободного падения.
Задача 52. По внутренней поверхности цилиндра радиусом R катается круглое тело без проскальзывания. Определите период малых колебаний тела около положения равновесия. Радиус круглого тела равен r . Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь.
Решение. Рассмотрим динамическое решение задачи.
Поступательное и вращательное движения тела под действием сил тяжести, реакции и трения (см. рисунок) описываются основными уравнениями динамики твердого тела
F тр -mgsin , (1)
F тр × r=J c , (2)
где J c =cmr 2 – момент инерции круглого тела относительно собственной оси вращения.
Из уравнений (1) и (2) , учитывая, что u с =wr (отсутствие проскальзывания), для ускорения поступательного движения тела получаем следующее уравнение:
Откуда при малых углах для смещения S=(R-r) находим
Таким образом, смещение S(t) описывается гармонической функцией с угловой частотой
и периодом колебаний
